Tema 3: La Derivada

Información sobre el tema

Empezaremos nuestro trabajo investigando cómo varía el valor de una función, al variar la variable independiente. El problema fundamental del cálculo diferencial es el de establecer con toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole, problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a sus descubridores a determinar los principios fundamentales del cálculo, el instrumento más poderoso de las matemáticas modernas.

En esta entrada aprenderemos a resolver problemas que tengan que ver con:

1. Formula derivada
2. Regla del producto
3. Regla del cociente
4. Regla de la cadena

nos iremos paso por paso y empezaremos con "la Formula derivada".

La Formula Derivada

Explicación: Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.
La definición de la derivada de la función y=f(x), es:

Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.
La formula que vimos a continuación es la que utilizaremos para la resolución del siguiente problema.

Δ: este símbolo significa ALFA de... y lo utilizaremos para determinar los valores de la derivada.

Problema

Durante el periodo de 10 años de 1980 a 1990, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la fórmula P (t) = 1 + 0.03t + 0.001t2 en donde P está en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de 1980. Calcula la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1985. t = 5.

ΔP = p(5 + Δt) - P(5)
=[1 + 0.03 (5 + Δt) + 0.001(5 + Δt)2] - [1 + 0.03(5) + 0.001 (5)2]
=[1 + 0.15 + 0.03 Δt + 0.001 (25 + 10 Δt + (Δt)2] - [1 + 0.15 + 0.001 (25)]
=0.04 Δt + 0.001 (Δt)2 = Δt(0.04 + 0.001 Δt)

La tasa de crecimiento promedio durante este intervalo de tiempo está dada por:
ΔP/ Δt = 0.04 + 0.001 Δt

Y tenemos el resultado del problema. Aquí lo único que hicimos fue sustituir la formula para que nos diera el resultado, en este caso, determinar el intervalo del tiempo.

Regla del Producto

En esta sección, probaremos y explicaremos el uso de dos importantes teoremas que representan técnicas útiles cuando se requiere derivar otro tipo de funciones.
Si u (x) y v (x) son dos funciones de x diferentes, se sigue que:

Esto es, uv’ + vu’
En términos verbales, la derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.

Problema

Calcular y’ si y = (5x2 - 3x) (2x3 + 8x + 7)

Solución
La función dada y puede escribirse como un producto de y = uv si hacemos:
u = 5x2 - 3x
y
v = 2x3 + 8x +7

Así pues, por los métodos vistos anteriormente:
u’ = 10x - 3
y
v’ = 6x2 + 8

Por consiguiente, por la regla del producto:
y’ = uv’ + vu’
= (5x2 - 3x) (6x2 + 8) + (2x3 + 8x +7) (10x - 3)
= 50x4 - 24x3 + 120x2 + 22x - 21

Regla del cociente

la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.

Si u (x) y v (x) son dos funciones diferentes de x, se sigue que:

Esto es, la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominado por la derivada del numerador menos el numerado por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador.

Ejemplo:
Calcula y’ si y = x2 + 1 / x3 + 4

Solución

Usamos la regla del cociente con:
u = x2 + 1 y v = x3 + 4.

y = (x3 + 4) d/dx (x2 + 1) - (x2 + 1) d/dx (x3 + 4) / (x3 + 4)2
= (x3 + 4) (2x) - (x2 + 1) (3x2) / (x3 + 4)2
= 2x4 + 8x - (3x4 + 3x2)
= -x4 - 3x2 + 8x / (x3 + 4)2

Regla de la cadena

Cada una de las funciones tiene su forma particular de derivar.

Las formulas de esta parte son:

Derivada del producto (×)
f’ (x) ab’ + a’b
Formula del cociente (/)
f’ x = ba’ - b’a / b2

La regla de la cadena se utiliza para derivar Funciones de grado superior ósea que están elevadas por un exponente.

Problema

f (x) = (5x +4)3
= (5x + 4)3

Aquí el exponente pasa a multiplicar a la ecuación que se encuentra entre paréntesis y después se le resta –1 al exponente con el que empezamos.

= 3 (5x + 4)2 (5)
El “(5)” lo sacamos al multiplicar cinco por el exponente de equis, ósea “1”. Después pasa al último y se multiplica por el 3.

Dándonos un resultado de:
15 (5x + 4)2

Fin del tema 3

Nota: Recuerda seguir siempre los paso de las formulas para que al momento de hacer el problema no tengas que acudir a "ya no hacerlo". Espero y la información dada haiga sido de tu ayuda. Para mas información contactarme al correo: rbn_051192@hotmail.com .

Tema 2: La parábola

Explicación general o repaso

Anteriormente Habíamos dicho que:
"Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz."

Asi quedaria un ejemplo de una parábola.

Las parábolas no necesariamente deben estar inclinadas de un lado derecho, esto se debe a la ecuación a la que nos dan. Para saber hacia donde hay que habrir nuestra parabola es nesesario acudir a las formulas de este tema.

En esta entrada trabajaremos con los distintos tipos de parabolas. Por ahora nos enfocaremos más en:

1. La parábola con Vertice en el origen
2. La parábola con Vertice Vertical fuera del origen
3. La parábola con Vertice Horizontal fuera del origen

Nos distribuiremos y nos iremos por partes para la comprención de este tema.

La parábola con Vertice en el origen

Formulario:

Sigue este formulario para resolver el siguiente problema.

Parábola Vertical
La ecuación de una parábola con vértice en (h , k) y foco en (h , k + a) es:
(x - h)2 = 4a (y - k)

Parábola Horizontal
La ecuación de una parábola con vértice en (h , k) y foco en (h + a, k) es:
(y - k)2 = 4a (x - h)

Nota:

Si a > 0 la parábola abre hacia la derecha
Si a < x =" h"> 0 la parábola abre hacia arriba
Si a < x =" h" x =" h" y =" k" y =" k">

Problema

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, que pasa por el punto P (3, 6) y cuyo eje focal está sobre el eje X

Solución

Como su eje focal está sobre el eje X, entonces su ecuación es de la forma:
y2 = 4ax
en donde a > 0

Nota:
Recuerda que x y a deben tener el mismo signo, y en el punto (3, 6) el signo del número 3 es positivo.

Luego si x = 3, entonces y = 6, por lo tanto:
(6)2 = 4a (3)
36 = 12a
36/12 = a
a = 3

Por consiguiente, la ecuación es:
y2 = 4 (3) x
y2 = 12x

Parábola con Vértice Vertical fuera del origen

Para resolver un problema con la parábola con Vértice Vertical fuera del origen se debe seguir la formula.
Una forma de saber cuando una gráfica es vertical es cuando el eje focal esta sobre el eje X.

Problema

Dada la ecuación y2 +16x - 4y - 44 = 0

Solución

Primero se deben pasar los valores de x del lado derecho o despejar:

y2 - 4y = - 16x + 44

Después el valor de y se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, mismo procedimiento del lado derecho, y después de resuelve.

y2 - 4y (-4/2)2 = - 16x + 44 (-4/2)2
y2 - 4y + 4 = - 16x + 44 + 4
y2 - 4y + 4 = - 16x + 48

Ya resuelto se simplifica y después se sacan valores finales.

(y - 2)2 = -16(x - 3)

Entonces:
Vértice (V): (3 ,2)

Lt. Se debe buscar de la siguiente forma:

Lt. = -16
Lt. = 4a
-16/4 = 4a
-4 = a

Coordenadas del foco: (h - a, k) Aquí es sencillo solamente sustituimos la formula.
(3 - 4, 2) = (-1 , 2)
x2 - 2x + 8y - 31 = 0

Parábola con Vértice Horizontal fuera del origen

Cuando tenemos una parábola con Vértice Horizontal fuera del origen sabemos que el eje focal va en contra con el eje de las Y. Es simplemente lo inverso al Vértice Vertical.

A continuación se mostrara el siguiente problema.

Problema

Dada la siguiente ecuación, determina lo que se te pide.
x2 - 2x + 8y - 31 = 0

Solución

Primero se deben pasar los valores de y del lado derecho o despejar:
x2 - 2x = - 8y + 31

Después el valor de y se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, mismo procedimiento del lado derecho, y después de resuelve.
x2 - 2x (-2/2)2 = - 8y + 31 (-2/2)2
x2 - 2x + 1 = - 8y + 31 + 1
x2 - 2x + 1 = - 8y + 32

Ya resuelto se simplifica y después se sacan valores finales.
(x - 1)2 = -8(y - 4)

Entonces:

Vértice (V): (1 ,4)

Lt. Se debe buscar de la siguiente forma:
Lt. = -8
Lt. = 4a
-8/4 = 4a
-2 = a

Coordenadas del foco: (h, k - a)
(1, 4 -2) = (1, 2)

Fin del tema 2

la resolución de este tipo de problemas es sencillo siempre y cuando se sigan los pasos adecuados para su resultado. Esta parte o entrada termina aquí, te recomiendo seguir al "Tema 3" ya que se explicaran una variedad de problemas en cuanto:

1. La Formula derivada.
2. Regla del Producto.
3. Regla del Cociente.
4. Regla de la Cadena.
   

Tema 1: Secciones Cónicas

Breve explicación del tema

Las figuras geométricas que estudiaremos a continuación son aquellas que se pueden obtener cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos con un plano, por este motivo se les llama secciones cónicas o simplemente cónicas.

Como se muestra en la siguiente figura (b), si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse.

Si un plano corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza, y además no tiene contacto con el otro, como se muestra en la siguiente figura (c), entonces la curva formada por la intersección se llama parábola.

Si un plano corta a los dos mantos de un cono, como se muestra en la figura (d), la curva formada por la intersección se nombra hipérbola.

Si un plano corta perpendicularmente al eje de un cono se obtiene una circunferencia como se muestra en la figura (a).

La Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano P (x, y) que son equidistantes de un punto fijo.

EL punto fijo es el centro de la circunferencia y cualquier segmento de recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llama radio

Ejemplo:

Este uno de los problemas que nos podemos encontrar para la resolución o comprensión de este tema.

Primero te daré de entrada un formulario que te podrá ayudar a la resolución de estos problemas que veremos a continuación relacionados con la circunferencia.

Formulario

Circunferencia:

La ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia es:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Quedando: x2 + y2 = 25

El centro se representa:
C (h , k) o (0 , 0)

Halla La ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-4, 3) y radio 5.

Primero: se debe despejar la formula con los resultados que dados.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x + 4)2 + (y - 3)2 = 52

Después se resuelve y se juntan términos semejantes, el resultado es el siguiente.

x2 + 8x + 16 + y2 - 6y + 9 = 25
x2 + y2 + 8x - 6y + 16 + 9 = 25
x2 + y2 + 8x - 6y + 25 = 25
x2 + y2 + 8x - 6y = 25 - 25

x2 + y2 + 8x - 6y = 0

La Parábola

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz.

Formulario:

Tabla para la resolución de(l) problema(s) :

Para buscar el Lado Recto se utiliza la formula: LR = 4a

Problema

Dada la ecuación de la parábola y2 = 20x

A) La abertura:
Después de saber la formula y eliminar términos semejantes sabiendo que y2 = 4ax, se sabe identificar hacia donde abre según la tabla dada en la clase.
Por tanto: abre a la Derecha.

B) El punto del Foco:
El punto del foco es, en este caso, (a, 0). Entonces será: (5, 0) por que al dividir 20x/4ax tenemos el resultado de 5a por tanto a = 5.

C) El Lado Recto (LR = 4a):
LR = 4 (5)
LR = 20

D) Coordenadas del foco (a, 2a) (a, -2a)
Aquí se substituye el valor de a y se multiplica:
(5, 2 (5)) (5, -2(5))
(5, 20) (5, -20)

E) Directriz:
La directriz (D) es directamente proporcional a la incógnita “a” o al valor de “a”.
D = 5

F) Ecuación de la directriz:
x = -5

La resolución de problemas en cuanto a la Parábola no es difícil, solamente hay que fijarse bien en los pasos que en la tabla vienen y compararlos con el problema dado.

La elipse

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos es constate, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos fijos.

Definiciones.

Para haces este punto mas explicito te daré unos conseptos que deberás entender para la resolución de problemas en cuanto a "la elipse".

• Focos: Los puntos F y F' son los puntos fijos denominados focos.
• Eje focal: Es una recta que pasa por los focos.
• Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con su eje focal.
• Eje mayor: Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse.
• Centro de la elipse: Es el punto medio del segmento de la recta cuyos puntos extremos son los focos de la elipse.
• Eje menor: Es el segmento de la recta que pasa por el centro de la elipse.
• Lado recto: El segmento de recta que es perpendicular al eje focal que pasa por uno de sus focos y cuyos extremos están en la elipse se llama lado recto. Es obvio que la elipse tiene dos lados rectos por tener dos focos.

Después de saber las definiciones podremos contestar el siguiente problema, con ayuda del siguiente formulario.

Formulario

Elipse:

Las ecuaciones de la elipse es:

x2 / a2 + y2 / b2
x2 + y2 = c

Eje mayor:
(a, 0) (-a, 0)
Coordenadas de Eje menor
(0, b) (0, -b)
Coordenadas de los focos
(c, 0) (-c, 0)

Para determinar el valor de “c” en una formula.
C = √ a2 - b2

Problema

Ecuación de una elipse con “V” en el origen. Dada la siguiente función 25x2 + 16y2 = 400

Primero se dividen los valores de “x” y de “y” por el valor de “c” que es el resultado de la ecuación.

25x2/400 + 16y2/400 = 400/400
16x2 + 25y2 = 1

Ya teniendo la ecuación semi-resuelta podemos identificar que valores son los correspondientes a “x” y “y”.

X2/16 + y2/25 = 1

Para determinar cuáles son los valores de “a” y de “b” se puede saber al tomar los resultados de “x” y “y” donde el numero mayor será a y el número menor será b.
a = √25 = 5 b = √16 = 4

Para determinar el eje mayor se resuelve según la fórmula y quedaría:
(5, 0) (-5, 0)
Igualmente con el eje menor:
(0, 4) (0, -4)
Para determinar el valor de los focos se resuelve sacando el valor de “c”
Quedando:
(3, 0) (-3, 0)

Fin del tema 1

Y con esto doy por terminado la primera parte de esta entrada. Seleccióna "Tema 2: La parábola" si tienes alguna duda sobre el tema de la parábola o si simplemente quieres checarlo, selecciona el link en "Mis proyectos".