Tema 2: La parábola

Explicación general o repaso

Anteriormente Habíamos dicho que:
"Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz."

Asi quedaria un ejemplo de una parábola.

Las parábolas no necesariamente deben estar inclinadas de un lado derecho, esto se debe a la ecuación a la que nos dan. Para saber hacia donde hay que habrir nuestra parabola es nesesario acudir a las formulas de este tema.

En esta entrada trabajaremos con los distintos tipos de parabolas. Por ahora nos enfocaremos más en:

1. La parábola con Vertice en el origen
2. La parábola con Vertice Vertical fuera del origen
3. La parábola con Vertice Horizontal fuera del origen

Nos distribuiremos y nos iremos por partes para la comprención de este tema.

La parábola con Vertice en el origen

Formulario:

Sigue este formulario para resolver el siguiente problema.

Parábola Vertical
La ecuación de una parábola con vértice en (h , k) y foco en (h , k + a) es:
(x - h)2 = 4a (y - k)

Parábola Horizontal
La ecuación de una parábola con vértice en (h , k) y foco en (h + a, k) es:
(y - k)2 = 4a (x - h)

Nota:

Si a > 0 la parábola abre hacia la derecha
Si a < x =" h"> 0 la parábola abre hacia arriba
Si a < x =" h" x =" h" y =" k" y =" k">

Problema

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, que pasa por el punto P (3, 6) y cuyo eje focal está sobre el eje X

Solución

Como su eje focal está sobre el eje X, entonces su ecuación es de la forma:
y2 = 4ax
en donde a > 0

Nota:
Recuerda que x y a deben tener el mismo signo, y en el punto (3, 6) el signo del número 3 es positivo.

Luego si x = 3, entonces y = 6, por lo tanto:
(6)2 = 4a (3)
36 = 12a
36/12 = a
a = 3

Por consiguiente, la ecuación es:
y2 = 4 (3) x
y2 = 12x

Parábola con Vértice Vertical fuera del origen

Para resolver un problema con la parábola con Vértice Vertical fuera del origen se debe seguir la formula.
Una forma de saber cuando una gráfica es vertical es cuando el eje focal esta sobre el eje X.

Problema

Dada la ecuación y2 +16x - 4y - 44 = 0

Solución

Primero se deben pasar los valores de x del lado derecho o despejar:

y2 - 4y = - 16x + 44

Después el valor de y se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, mismo procedimiento del lado derecho, y después de resuelve.

y2 - 4y (-4/2)2 = - 16x + 44 (-4/2)2
y2 - 4y + 4 = - 16x + 44 + 4
y2 - 4y + 4 = - 16x + 48

Ya resuelto se simplifica y después se sacan valores finales.

(y - 2)2 = -16(x - 3)

Entonces:
Vértice (V): (3 ,2)

Lt. Se debe buscar de la siguiente forma:

Lt. = -16
Lt. = 4a
-16/4 = 4a
-4 = a

Coordenadas del foco: (h - a, k) Aquí es sencillo solamente sustituimos la formula.
(3 - 4, 2) = (-1 , 2)
x2 - 2x + 8y - 31 = 0

Parábola con Vértice Horizontal fuera del origen

Cuando tenemos una parábola con Vértice Horizontal fuera del origen sabemos que el eje focal va en contra con el eje de las Y. Es simplemente lo inverso al Vértice Vertical.

A continuación se mostrara el siguiente problema.

Problema

Dada la siguiente ecuación, determina lo que se te pide.
x2 - 2x + 8y - 31 = 0

Solución

Primero se deben pasar los valores de y del lado derecho o despejar:
x2 - 2x = - 8y + 31

Después el valor de y se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, mismo procedimiento del lado derecho, y después de resuelve.
x2 - 2x (-2/2)2 = - 8y + 31 (-2/2)2
x2 - 2x + 1 = - 8y + 31 + 1
x2 - 2x + 1 = - 8y + 32

Ya resuelto se simplifica y después se sacan valores finales.
(x - 1)2 = -8(y - 4)

Entonces:

Vértice (V): (1 ,4)

Lt. Se debe buscar de la siguiente forma:
Lt. = -8
Lt. = 4a
-8/4 = 4a
-2 = a

Coordenadas del foco: (h, k - a)
(1, 4 -2) = (1, 2)

Fin del tema 2

la resolución de este tipo de problemas es sencillo siempre y cuando se sigan los pasos adecuados para su resultado. Esta parte o entrada termina aquí, te recomiendo seguir al "Tema 3" ya que se explicaran una variedad de problemas en cuanto:

1. La Formula derivada.
2. Regla del Producto.
3. Regla del Cociente.
4. Regla de la Cadena.