Las figuras geométricas que estudiaremos a continuación son aquellas que se pueden obtener cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos con un plano, por este motivo se les llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
Como se muestra en la siguiente figura (b), si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse.
Si un plano corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza, y además no tiene contacto con el otro, como se muestra en la siguiente figura (c), entonces la curva formada por la intersección se llama parábola.
Si un plano corta a los dos mantos de un cono, como se muestra en la figura (d), la curva formada por la intersección se nombra hipérbola.
Si un plano corta perpendicularmente al eje de un cono se obtiene una circunferencia como se muestra en la figura (a).
La Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano P (x, y) que son equidistantes de un punto fijo.
EL punto fijo es el centro de la circunferencia y cualquier segmento de recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llama radio
Ejemplo:
Este uno de los problemas que nos podemos encontrar para la resolución o comprensión de este tema.
Primero te daré de entrada un formulario que te podrá ayudar a la resolución de estos problemas que veremos a continuación relacionados con la circunferencia.
Formulario
Circunferencia:
La ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia es:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
Quedando: x2 + y2 = 25
El centro se representa:
C (h , k) o (0 , 0)
Halla La ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-4, 3) y radio 5.
Primero: se debe despejar la formula con los resultados que dados.
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x + 4)2 + (y - 3)2 = 52
Después se resuelve y se juntan términos semejantes, el resultado es el siguiente.
x2 + 8x + 16 + y2 - 6y + 9 = 25
x2 + y2 + 8x - 6y + 16 + 9 = 25
x2 + y2 + 8x - 6y + 25 = 25
x2 + y2 + 8x - 6y = 25 - 25
x2 + y2 + 8x - 6y = 0
La Parábola 
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz.
Formulario:
Tabla para la resolución de(l) problema(s) :
Para buscar el Lado Recto se utiliza la formula: LR = 4a
Problema
Dada la ecuación de la parábola y2 = 20x
A) La abertura:
Después de saber la formula y eliminar términos semejantes sabiendo que y2 = 4ax, se sabe identificar hacia donde abre según la tabla dada en la clase.
Por tanto: abre a la Derecha.
B) El punto del Foco:
El punto del foco es, en este caso, (a, 0). Entonces será: (5, 0) por que al dividir 20x/4ax tenemos el resultado de 5a por tanto a = 5.
C) El Lado Recto (LR = 4a):
LR = 4 (5)
LR = 20
D) Coordenadas del foco (a, 2a) (a, -2a)
Aquí se substituye el valor de a y se multiplica:
(5, 2 (5)) (5, -2(5))
(5, 20) (5, -20)
E) Directriz:
La directriz (D) es directamente proporcional a la incógnita “a” o al valor de “a”.
D = 5
F) Ecuación de la directriz:
x = -5
La resolución de problemas en cuanto a la Parábola no es difícil, solamente hay que fijarse bien en los pasos que en la tabla vienen y compararlos con el problema dado.
La elipse
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos es constate, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos fijos.
Definiciones.
Para haces este punto mas explicito te daré unos conseptos que deberás entender para la resolución de problemas en cuanto a "la elipse".
- Focos: Los puntos F y F' son los puntos fijos denominados focos.
- Eje focal: Es una recta que pasa por los focos.
- Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con su eje focal.
- Eje mayor: Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse.
- Centro de la elipse: Es el punto medio del segmento de la recta cuyos puntos extremos son los focos de la elipse.
- Eje menor: Es el segmento de la recta que pasa por el centro de la elipse.
- Lado recto: El segmento de recta que es perpendicular al eje focal que pasa por uno de sus focos y cuyos extremos están en la elipse se llama lado recto. Es obvio que la elipse tiene dos lados rectos por tener dos focos.
Después de saber las definiciones podremos contestar el siguiente problema, con ayuda del siguiente formulario.
Formulario
Elipse:
Las ecuaciones de la elipse es:
x2 / a2 + y2 / b2
x2 + y2 = c
Eje mayor:
(a, 0) (-a, 0)
Coordenadas de Eje menor
(0, b) (0, -b)
Coordenadas de los focos
(c, 0) (-c, 0)
Para determinar el valor de “c” en una formula.
C = √ a2 - b2
Problema
Ecuación de una elipse con “V” en el origen. Dada la siguiente función 25x2 + 16y2 = 400
Primero se dividen los valores de “x” y de “y” por el valor de “c” que es el resultado de la ecuación.
25x2/400 + 16y2/400 = 400/400
16x2 + 25y2 = 1
Ya teniendo la ecuación semi-resuelta podemos identificar que valores son los correspondientes a “x” y “y”.
X2/16 + y2/25 = 1
Para determinar cuáles son los valores de “a” y de “b” se puede saber al tomar los resultados de “x” y “y” donde el numero mayor será a y el número menor será b.
a = √25 = 5 b = √16 = 4
Para determinar el eje mayor se resuelve según la fórmula y quedaría:
(5, 0) (-5, 0)
Igualmente con el eje menor:
(0, 4) (0, -4)
Para determinar el valor de los focos se resuelve sacando el valor de “c”
Quedando:
(3, 0) (-3, 0)
Fin del tema 1
Y con esto doy por terminado la primera parte de esta entrada. Seleccióna "Tema 2: La parábola" si tienes alguna duda sobre el tema de la parábola o si simplemente quieres checarlo, selecciona el link en "Mis proyectos".
Felicidades
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